Science is the best thing we can do. And I think it is better for men to seek order in a chaotic manner instead to study chaos in an orderly fashion.

Sunday, September 23, 2007

din nou atractori

Am lucrat toata ziua la o idee mai veche; aceea prin care, utilizind aproximari si atractori, sa generez neliniar pulsuri/perturbatii analizabile fourier. Inca nu am construit in acest mod o perturbatie (i.e. un puls), dar modelul pare promitator.

Ce-i drept, atractorii au cazut cumva in dizgratie din momentul in care am hotarit ca ma intereseaza in primul rind ordinea: treptat, am revenit la modelele slab haotice ale mecanicii clasice (din 2003 m-am concentrat destul de mult asupra sistemelor mecanicii hamiltoniene: se stie, sistemele hamiltoniene nu au atractori, acestia din urma caracterizind mai degraba sistemele cu haos tare).

Astazi nu am facut decit sa reiau un model pe care l-am studiat intens acum sapte ani. Am realizat, ca si atunci, ca fenomenul relevat nu apare decit in cazul atractorilor, in plus, ma atrage caracterul puternic neliniar al modelului -- multa lume admite azi ca la o scara foarte mica, in imediata vecinatate a unei particule elementare cimpurile sint foarte intense --, dar si faptul ca ar putea constitui o alternativa neliniara la compunerea/integrala fourier care e o transformare liniara.
Mai exista cel putin o trasatura interesanta: una ar fi aceea ca modelul ia nastere in mod natural din aproximari. Or, in cautarea originii constantei lui Planck, aproximarile sint inevitabile, ceea ce sugereaza ca intr-un model reusit, ele ar putea chiar sa aiba contributia lor. O alta trasatura importanta a modelului -- iar asta mi-o sugereaza pur si simplu flerul --, ar fi aceea ca, fara calculator, ar fi imposibil de pus in evidenta, calculele fiind monstruoase. Ce inseamna asta? Inseamna o sansa in plus pentru mine: toate cercetarile actuale se fac mai degraba de catre fizicieni cu background si abilitati matematice iesite din comun (la Harvard, Princeton, Columbia, Stanford, s.a.m.d.), insa la nivelul unor calcule mai degraba formale -- se utilizeaza chiar software puternic, dedicat acestor manipulari formale --, experimentul numeric jucind inca un rol minor, fiind practic neglijat. Cum nici background-ul si nici abilitatile mele matematice nu se compara cu ale celor care studiaza teoriile superstring-urilor, experimentele numerice ingenioase bazate pe o intuitie fizica sanatoasa ramin singura mea sansa. Desigur, in cazul unor rezultate, simplitatea nu ar fi deloc de neglijat: in orice caz, un asemenea model nu se compara ca dificultate cu cel furnizat de teoriile suprestring-urilor (experienta uimitoare a lui Einstein confirma faptul ca o teorie poate fi cu-adevarat revolutionara daca e relativ simpla: teoria speciala a relativitatii putea fi explicata inca de atunci cu destula usurinta celor care studiau in primii ani la facultatile de matematica/fizica).
Trasatura cea mai importanta a modelului ramine insa aceea ca se admite (pe mai departe) valabilitatea principiului superpozitiei (i.e. combinatia liniara a doua solutii este tot o solutie), principiu esential pentru mecanica cuantica.

Lucrurile se leaga intru citva: incepind din 2003 am creat un model neliniar cu doua grade de libertate care dadea nastere la pulsuri. M-am putut lamuri atunci la modul practic cum sistemele neliniare cu un numar finit de grade de libertate pot fi echivalate cu unele liniare cu un numar infinit de grade de libertate. Evident, avind de-a face direct cu pulsuri, nu am fost nevoit sa apelez la transformari sofisticate cum ar fi aceea data de ecuatia Frobenius-Perron. Problemele modelului din 2003 au fost tot timpul lipsa de localizare a pulsului odata cu scaderea coeficientului de neliniaritate si caracterul (pregnant) discret al transformatei sale fourier: particulele libere au spectru continuu.

Am motivat ceva mai devreme renuntarea la modelul din 2000, insa ar mai fi citeva detalii de lamurit aici: pe-atunci nu mi-era aproape matematica ceva mai pretentioasa a pulsurilor complexe, in plus, detaliile legate de constructia unor astfel de perturbatii imi apareau suficient de complicate pentru a ma descuraja -- ar fi suficient poate sa mentionez aici ca spatiul hilbert asociat are dimensiunea foarte mare, de ordinul miilor sau zecilor de mii. Nu am procedat asa cum procedez in situatiile de acest fel cind las modelul in asteptare incercind sa epuizez alternativele (ce par) mai simple sau mai plauzibile, fiindca atunci am studiat mai departe manifestarile care mi s-au parut interesante: printre altele, am incercat chiar sa gasesc circumstante simplificate in care dimensiunea sa fie mult mai mica. Renuntarea la model s-a produs insa treptat, pe masura ce deveneam constient de ineficacitatea lucrului cu probabilitati in studiul chestiunilor fundamentale. Am revenit periodic la model, parindu-mi-se ca are citeva proprietati cu totul remarcabile care ar merita fructificate matematic.

Inca mai cred si astazi ca este o fortare postularea caracterului probabilistic al amplitudinii functiei de unda -- obiectul central al studiului mecanicii undelor: presupun pur si simplu ca postularea nu era necesara. Fiindca mai cred si astazi ca daca am gasi teoria mult cautata, si daca probabilitatile ar fi cu-adevarat inevitabile in mecanica cuantica, atunci ele ar trebui sa rezulte in mod natural din teorie. Ca sa duc rationamentul pina la capat, trebuie sa constat un lucru surprinzator, totusi cunoscut: singurul domeniu matematic din care decurg in mod natural probabilitati este cel care astazi se ocupa de haos, mai precis de haosul determinist (rezultat din studiul ecuatiilor diferentiale sensibile la conditia initiala), atractori, s.a.m.d. -- chiar si sisteme hamiltoniene, unde vorbim, ce-i drept, despre haos slab (v. M.C. Gutzwiller).

In legatura cu modelul, astazi am vazut lucrurile ceva mai clar: suficient de clar pentru a realiza ca, desi atunci am ajuns sa construiesc sistemul respectiv pornind de la un lant markov cu timp continuu, adica postulind probabilitati, postularea lor putea fi evitata cu usurinta. Evident, nu ma refer la posibilitatea banala ca probabilitatile dintr-un graf sa fie asimilate cu o marime fizica ce se conserva (cu energia, de pilda), ci pur si simplu la faptul ca se poate ajunge la aceleasi rezultate fara a se recurge la studiul unor lanturi markov. Eram insa constient ca asa stau lucrurile fiindca inca de pe atunci am scris citeva programe de testare a acestei ipoteze.

Pentru cei care nu sint familiarizati cu domeniul, poate parea surprinzator ca probabilitatile sa decurga natural din sisteme de ecuatii prin excelenta deterministe. Diagrama de bifurcatie de mai jos rezulta in urma rezolvarii unui asemenea sistem: arata intr-adevar spectaculos.

Labels: , , ,

0 Comments:

Post a Comment

Links to this post:

Create a Link

<< Home