revenire - citeva comentarii si un pic de muzica buna

E duminica si am lucrat toata dimineata la ecuatii. Apropo, stiati ca tristetea ajuta la concentrare? Cel putin asa reiese din cercetarile recente facute de psihologul Adam Anderson de la Universitatea din Toronto.

Si poate ca un pic de muzica n-ar strica acum, un pic de muzica buna.
Sa vedem...
Dar fiindca sint inca sub influenta calatoriei in trecut, in vremea cind chiar si adolescent mai visam inca la Gina din clasa a cincea, si fiindca am scris un articol despre tristete, revin. O fac altfel, pentru ca din comentariile lui rune reiese ca s-a inteles cu totul altceva. O fac postind citeva bucati clasice de muzica rock, psihedelica, rock alternativ care sint, ce-i drept altceva decit muzica pop, buna si ea uneori, destul de rar insa -- ma gindesc aici la ABBA.

Am scris articolul despre tristete referindu-ma la o tristete mai consistenta decit aceea care survine in urma dezamagilor sentimentale, si era vorba acolo de intoarcerea la lumea perena a ideilor, avind in mod inexplicabil un sentiment de amaraciune.
Poate parea ridicol sa contabilizezi tristetea, dar dupa cum v-ati putut da seama si singuri, tristetea tine de compromis -- de fapt, ea se naste odata cu acceptarea acestuia ca pret, in schimbul supravietuirii --, si de aceea putem vorbi de grade diferite ale tristetii. Putem vorbi de o pojghita a tristetii, dupa cum putem vorbi de tristeti abisale, de mare adincime sufleteasca.

Nu-mi doresc sa fiu un demolator de mituri, dar cred ca muzica interpretata de Lemarchal, cistigatorul unui concurs francez gen Scoala Vedetelor, si chiar muzica lui Celine Dion exprima tristetea -- daca o exprima, fiindca inca ma indoiesc de asta --, doar la un nivel cu totul superficial, mimind-o practic, ceea ce face ca efectul sa fie chiar contrar. Cu totul altceva se poate spune despre muzica lui Kurt Cobain, Jim Morisson, WhiteSnake, asta ca sa dau doar citeva exemple care-mi vin acum in minte: chiar si-asa, as spune ca abia de aici incepe sa se intrevada tristetea care in muzica Cesariei Evora este naturala si are expresia sublima. Si vorbim aici doar de muzica de astazi, pastrind distanta fata de muzica clasica unde exemplele sint mai numeroase.

Desigur, am inceput sa patinam: chiar rezumindu-ne la muzica de astazi vom constata ca vorbim de genuri diferite de muzica. Insa comparatia poate fi si trebuie facuta, tocmai pentru ca exista muzica buna, si muzica mai putin buna. Unii se apara cu ponciful ca totul e o chestie de gust si ca gusturile nu se discuta: cei care se multumesc doar cu-atit pot intrerupe lectura chiar in acest moment si cauta altceva mai bun de facut, caci pe acest blog nu vor putea asculta altceva decit muzica de calitate (ma refer, fireste, la muzica postata de autor).
Este interesant de observat ca multi dintre cei care imbratiseaza cu entuziasm interdictia amintita -- i.e. discutia pe teme de gust in materie de muzica --, sint chiar cei care n-au studiat in viata lor macar un instrument, nici macar la nivel de amatori: si de aceea, sint cu atit mai hotariti sa-si apare punctele de vedere mai mult decit discutabile -- muzical, fireste.

Atentie si la instrumente...

Kurt Cobain - Something in the Way / Nirvana


Kurt Cobain - Come As You Are / Nirvana


Jim Morisson - When the Music's Over / The Doors


Whitesnake - Soldier Of Fortune (unplugged, i.e. chitara rece)


A simtit cineva tristetea autentica in cintecele de mai sus? Nici eu.
Sa ascultam atunci un pic de rock sanatos care, daca nu induce tristete, ne umple cel putin de nostalgie...

Jim Morisson - Roadhouse Blues / The Doors


Pentru rock modern ascultam inca Dire Straits si pe Mark Knopfler cu a sa chitara miraculoasa...

Dire Straits - Money For Nothing (Wembley Arena)


sau si mai bine Yes, cu Jon Anderson...

Yes - Owner of a lonely heart


In fine, pentru a reveni...
Pink Floyd - Wish You Were Here

din nou atractori

Am lucrat toata ziua la o idee mai veche; aceea prin care, utilizind aproximari si atractori, sa generez neliniar pulsuri/perturbatii analizabile fourier. Inca nu am construit in acest mod o perturbatie (i.e. un puls), dar modelul pare promitator.

Ce-i drept, atractorii au cazut cumva in dizgratie din momentul in care am hotarit ca ma intereseaza in primul rind ordinea: treptat, am revenit la modelele slab haotice ale mecanicii clasice (din 2003 m-am concentrat destul de mult asupra sistemelor mecanicii hamiltoniene: se stie, sistemele hamiltoniene nu au atractori, acestia din urma caracterizind mai degraba sistemele cu haos tare).

Astazi nu am facut decit sa reiau un model pe care l-am studiat intens acum sapte ani. Am realizat, ca si atunci, ca fenomenul relevat nu apare decit in cazul atractorilor, in plus, ma atrage caracterul puternic neliniar al modelului -- multa lume admite azi ca la o scara foarte mica, in imediata vecinatate a unei particule elementare cimpurile sint foarte intense --, dar si faptul ca ar putea constitui o alternativa neliniara la compunerea/integrala fourier care e o transformare liniara.
Mai exista cel putin o trasatura interesanta: una ar fi aceea ca modelul ia nastere in mod natural din aproximari. Or, in cautarea originii constantei lui Planck, aproximarile sint inevitabile, ceea ce sugereaza ca intr-un model reusit, ele ar putea chiar sa aiba contributia lor. O alta trasatura importanta a modelului -- iar asta mi-o sugereaza pur si simplu flerul --, ar fi aceea ca, fara calculator, ar fi imposibil de pus in evidenta, calculele fiind monstruoase. Ce inseamna asta? Inseamna o sansa in plus pentru mine: toate cercetarile actuale se fac mai degraba de catre fizicieni cu background si abilitati matematice iesite din comun (la Harvard, Princeton, Columbia, Stanford, s.a.m.d.), insa la nivelul unor calcule mai degraba formale -- se utilizeaza chiar software puternic, dedicat acestor manipulari formale --, experimentul numeric jucind inca un rol minor, fiind practic neglijat. Cum nici background-ul si nici abilitatile mele matematice nu se compara cu ale celor care studiaza teoriile superstring-urilor, experimentele numerice ingenioase bazate pe o intuitie fizica sanatoasa ramin singura mea sansa. Desigur, in cazul unor rezultate, simplitatea nu ar fi deloc de neglijat: in orice caz, un asemenea model nu se compara ca dificultate cu cel furnizat de teoriile suprestring-urilor (experienta uimitoare a lui Einstein confirma faptul ca o teorie poate fi cu-adevarat revolutionara daca e relativ simpla: teoria speciala a relativitatii putea fi explicata inca de atunci cu destula usurinta celor care studiau in primii ani la facultatile de matematica/fizica).
Trasatura cea mai importanta a modelului ramine insa aceea ca se admite (pe mai departe) valabilitatea principiului superpozitiei (i.e. combinatia liniara a doua solutii este tot o solutie), principiu esential pentru mecanica cuantica.

Lucrurile se leaga intru citva: incepind din 2003 am creat un model neliniar cu doua grade de libertate care dadea nastere la pulsuri. M-am putut lamuri atunci la modul practic cum sistemele neliniare cu un numar finit de grade de libertate pot fi echivalate cu unele liniare cu un numar infinit de grade de libertate. Evident, avind de-a face direct cu pulsuri, nu am fost nevoit sa apelez la transformari sofisticate cum ar fi aceea data de ecuatia Frobenius-Perron. Problemele modelului din 2003 au fost tot timpul lipsa de localizare a pulsului odata cu scaderea coeficientului de neliniaritate si caracterul (pregnant) discret al transformatei sale fourier: particulele libere au spectru continuu.

Am motivat ceva mai devreme renuntarea la modelul din 2000, insa ar mai fi citeva detalii de lamurit aici: pe-atunci nu mi-era aproape matematica ceva mai pretentioasa a pulsurilor complexe, in plus, detaliile legate de constructia unor astfel de perturbatii imi apareau suficient de complicate pentru a ma descuraja -- ar fi suficient poate sa mentionez aici ca spatiul hilbert asociat are dimensiunea foarte mare, de ordinul miilor sau zecilor de mii. Nu am procedat asa cum procedez in situatiile de acest fel cind las modelul in asteptare incercind sa epuizez alternativele (ce par) mai simple sau mai plauzibile, fiindca atunci am studiat mai departe manifestarile care mi s-au parut interesante: printre altele, am incercat chiar sa gasesc circumstante simplificate in care dimensiunea sa fie mult mai mica. Renuntarea la model s-a produs insa treptat, pe masura ce deveneam constient de ineficacitatea lucrului cu probabilitati in studiul chestiunilor fundamentale. Am revenit periodic la model, parindu-mi-se ca are citeva proprietati cu totul remarcabile care ar merita fructificate matematic.

Inca mai cred si astazi ca este o fortare postularea caracterului probabilistic al amplitudinii functiei de unda -- obiectul central al studiului mecanicii undelor: presupun pur si simplu ca postularea nu era necesara. Fiindca mai cred si astazi ca daca am gasi teoria mult cautata, si daca probabilitatile ar fi cu-adevarat inevitabile in mecanica cuantica, atunci ele ar trebui sa rezulte in mod natural din teorie. Ca sa duc rationamentul pina la capat, trebuie sa constat un lucru surprinzator, totusi cunoscut: singurul domeniu matematic din care decurg in mod natural probabilitati este cel care astazi se ocupa de haos, mai precis de haosul determinist (rezultat din studiul ecuatiilor diferentiale sensibile la conditia initiala), atractori, s.a.m.d. -- chiar si sisteme hamiltoniene, unde vorbim, ce-i drept, despre haos slab (v. M.C. Gutzwiller).

In legatura cu modelul, astazi am vazut lucrurile ceva mai clar: suficient de clar pentru a realiza ca, desi atunci am ajuns sa construiesc sistemul respectiv pornind de la un lant markov cu timp continuu, adica postulind probabilitati, postularea lor putea fi evitata cu usurinta. Evident, nu ma refer la posibilitatea banala ca probabilitatile dintr-un graf sa fie asimilate cu o marime fizica ce se conserva (cu energia, de pilda), ci pur si simplu la faptul ca se poate ajunge la aceleasi rezultate fara a se recurge la studiul unor lanturi markov. Eram insa constient ca asa stau lucrurile fiindca inca de pe atunci am scris citeva programe de testare a acestei ipoteze.

Pentru cei care nu sint familiarizati cu domeniul, poate parea surprinzator ca probabilitatile sa decurga natural din sisteme de ecuatii prin excelenta deterministe. Diagrama de bifurcatie de mai jos rezulta in urma rezolvarii unui asemenea sistem: arata intr-adevar spectaculos.

reasezare

Revin la un ritm de postare ceva mai lent. Nu de alta, dar am nevoie de timp. Voi incerca sa postez zilnic, insa doar daca am ceva de spus. Inca ma incoltesc vreo citeva idei legate de studiile referitoare la contextul geometric al aparitiei constantei lui Planck. Activitatile de felul asta sint extrem de cronofage, sint insa printre putinele care ma atrag. Sint zile intregi cind numai asta fac: gindesc, gindesc si iar gindesc la diversele modele matematice. Cautarile acestea sint in mare masura sterile, de aceea si aduc intru citva cu acelea ale cautatorilor de aur.
Einstein avertiza odata:

"Pentru cel ce se straduieste sa realizeze o opera stiintifica sansele de a ajunge la un rezultat de valoare sint foarte slabe, chiar daca este foarte inzestrat..." (A. Einstein, Correspondance, p.77)

Am si un sentiment de insatisfactie datorat inexistentei unor site-uri romanesti de stiinta consistente. Toate cele pe care le-am vazut pina acum sint amatoricesti si simpla lor parcurgere te umple de melancolie.
In rest, unde intorci capul, cancan, politica, afaceri dubioase, ziare cvasi-tabloidizate, personalitati in deriva, monoloage, lipsa dezbaterii autentice de orice fel, multa religie si fotbal, paseism cu fason cultural si foarte foarte putina stiinta sau chiar deloc. Si cind ma gindesc ca sint destui carora le place atmosfera asta, chiar ca devin melancolic.

Nu exista remediu decit in afara, la cei care sint interesati cu-adevarat de universul acesta mare: ma numar si eu printre cei care cred ca nu putem afla mare lucru despre noi daca nu stim cu mult mai multe despre legile naturii.
De aceea merita poate sa rememoram povestea dramatica a descoperirii facute de unul dintre cei mai mari savanti, Stephen Hawking. Am mai spus-o, unii dintre noi ne folosim de toata libertatea pentru a gasi adevarul: altii se folosesc de adevar pentru a se elibera.

Cel care a luat in serios inca de la inceput problema paradoxului informatiei (pierderea informatiei intr-o gaura neagra sustinuta chiar de catre Hawking) este Leonard Susskind, unul dintre parintii teoriei superstring-urilor, si unul dintre cei mai interesanti ginditori ai momentului. El a dezvoltat practic o idee remarcabila a lui Gerardus 't Hooft, aplicabila fenomenelor cuantice, aceea a principiului holografic, potrivit caruia informatia corespunzatoare fenomenelor care au loc intr-un volum se regaseste pe o suprafata care delimiteaza acel volum -- in cazul nostru, e vorba de orizontul evenimentelor gaurii negre. Se stie, gaurile negre au devenit deosebit de interesante din punct de vedere teoretic tocmai datorita caracterului lor special: fiind foarte masive, sint studiate cu ajutorul teoriei generalizate a relativitatii, dar, in acelasi timp, fiindca spatial sint foarte restrinse (mici), nu pot fi evitate efectele/manifestarile cuantice, si deci nici aplicarea mecanicii cuantice. Cum toate teoriile de unificare se lovesc de aceasta limita clasic-cuantic (teoria lui Einstein fiind una considerata clasica), gaurile negre au fost studiate asiduu tocmai pentru a se clarifica raporturile in care se afla teoriile clasice si cele cuantice. Juan Maldacena este cel care i-a furnizat argumentele matematice riguroase lui Leonard Susskind, argumente care aratau ca informatia nu se pierde, cum sustinea Hawking.

Partea I


Partea a II-a


Partea a III-a


Partea a IV-a


Partea a V-a

Astazi m-am intors la un studiu interesant legat de o aplicatie a numerelor prime in analiza...

Promiteam detalii. Noroc ca n-am zis ca vor fi multe... :-)
Pai ce-ar fi de spus?
Ca de vreo citva timp bijbii iar, sarind de la un subiect la altul? Ei, poate nu chiar asa,...
Ce-i drept, uneori ma simt bine daca atac pe doua fronturi: unul care se bazeaza pe modele cu ecuatii si altul pe modele discrete pe care vreau de obicei sa le aduc mai aproape de cele continue: este cazul cu acest studiu referitor la numerele prime.

Ei bine, in legatura cu numerele prime, multa lume buna care le-a studiat a fost exasperata de indaratnicia cu care acestea isi tradeaza contextul, proprietatile lor vagi, fiindca pe cele tari le cunoaste aproape toata lumea din definitie si din studiile de pina acum. Ideea este ca sirul numerelor prime nu urmeaza o regula, multi cred ca in sensul acesta ar putea admite un model aleator: doar ca nici asa ceva nu a fost decelat pina acum.

Acum aproape doua saptamini am determinat numeric (i.e. cu ajutorul unor programe scrise in turbo pascal) niste distributii care mi-au aratat mai degraba ca ar exista o ordine, in orice caz, erau departe de distributiile de tip clopot sau de cele care sa justifice apropierea de un model haotic. Apoi, zilele trecute mi-a venit ideea ca s-ar putea face o constructie care sa tinda la acoperirea continua a unui segment utilizind rapoarte formate din numere prime printr-o serie de reguli simple. In felul acesta mi s-a parut ca ar fi interesant de vazut daca nu cumva exista o limita spre care sa convearga "coeficientul de ramificare" al arborelui astfel construit. Am intors problema pe toate partile, si intr-un final am decis ca e neinteresanta: in orice caz, nu atit de interesanta incit sa merite sa fac un program pentru a evalua o eventuala limita.

Memoria mi-a adus in fata alte incercari asemanatoare din vremea in care studiam cu asiduitate lanturile markov: acolo (mai) apareau acesti arbori regulati, iar limita era foarte usor de stabilit atunci cind exista -- era pur si simplu solutia unei ecuatii algebrice. Ce m-a deranjat?
Pai, desi limita ar putea exista, as avea o acoperire continua a unui segment, iar regulile de constructie a arborelui sint din cale-afara de simple si clare, nu pot elimina senzatia de arbitrar pe care mi-o dau acestea. Limita ar spune, ce-i drept, ceva despre "gradul de conectivitate" al numerelor prime, dar nu ma pot multumi doar cu atit.
Ramine insa o problema deschisa. Mai am nevoie de citeva argumente bune pentru a trece la scrierea programului de calcul al limitei.

Pina atunci, revin la ecuatii. Am un model care promite. Uneori am in minte un soi de legatura intre spatiile hilbert ale functiilor armonice cu care se face analiza fourier si plan: cum modelul amintit se bazeaza pe invariantii unui operator, incerc sa ma lamuresc daca legatura respectiva chiar ar putea exista. Am niste idei, nu foarte clare, in zilele urmatoare insa voi incerca sa le detaliez. Apelez la un operator fiindca atunci cind vinezi constanta lui Planck sau ai pretentia ca vrei sa clarifici legatura dintre clasic si cuantic in fizica, trebuie sa lucrezi cu operatori sau macar cu niste functii cu proprietati de operator.